Моделирование процессов межсекторальной конкуренции

1. Закономерности функционирования рынка труда: проблемы и пути решения

К настоящему времени получило всестороннее развитие направление исследований, связанное с формированием приватизационных циклов в разных странах. В данной проблематике акцент делается на выяснении особенностей взаимодействия государственного и частного секторов национальной экономики. При этом, как следствие, во главу угла ставится вопрос о динамике доли государственного сектора, возможности ее математического описания и прогнозирования возможных изменений в секторальной структуре экономики. Полученные результаты позволяют по-новому посмотреть на конкурентные процессы в экономике вообще и на секторальную конкуренцию в частности.

Надо сказать, что в указанной тематике наметились интересные теоретические обобщения закономерностей функционирования экономических рынков, а также прикладные методы их исследования. При этом продвижение вперед в означенных направлениях происходит в основном за счет использования современного математического инструментария, который продолжает совершенствоваться в части экономических приложений. Как правило, здесь доминируют нелинейные динамические модели, позволяющие адекватно описать взаимодействие государственного и частного секторов экономики. И в рамках этого направления наметилась определенная инструментальная линия развития.

Так, в последние годы в прикладных экономических исследованиях широкое распространение получила модель «хищник-жертва». В подавляющем большинстве случаев данный класс динамических моделей применяется к рынку труда, в том числе с учетом имеющихся на нем потенциальных работников и вакантных рабочих мест¹. Превалирование рынка труда над остальными рынками объясняется, по крайней мере, двумя обстоятельствами. Во-первых, работа с численностью контингента в частном и государственном секторах позволяет избежать проблемы соизмерения во времени, т.к. здесь отсутствуют всевозможные искажающие ценовые эффекты, а оцениваемые агрегаты имеют надежную физическую основу. Во-вторых, показатели численности работников двух секторов имеют самую непосредственную аналогию с биологическими популяциями, динамика которых моделируется в традиционных моделях «хищник-жертва».

Другим классическим приложением модели «хищник-жертва» к рынку труда служит модель классовой борьбы Р.Гудвина, описывающая взаимодействие рабочих и капиталистов². В более поздних работах рассматривается динамика государственного и частного секторов экономики³, при этом оба сектора рассматриваются сквозь призму численности занятых в них работников⁴. К настоящему моменту уже рассмотрены некоторые обобщения и модификации классической модели «хищник-жертва», а также осуществлена эмпирическая проверка работоспособности данной модели для рынков труда нескольких стран⁵. Полученные положительные результаты предполагают дальнейшее развитие инструментальных возможностей модели «хищник-жертва».

Следует отметить отдельные попытки по применению указанной модели к конкретным отраслям экономики, например к исследованию распределения научных работников между частным и государственным секторами в сфере исследований и разработок⁶. Имеются и работы, связанные с изучением концентрического распределения рабочей силы по территории страны на основе нелинейных систем типа модели В.Вольтерра и более специфических спецификаций⁷.

Накопленный материал подводит к необходимости дальнейшего движения по двум направлениям. Во-первых, он позволяет переосмыслить связь модели «хищник-жертва» с другими классическими конструкциями теории дифференциальных уравнений. Прояснение данного вопроса позволяет понять, как «переливается» модель «хищник-жертва» в другие формальные схемы. В связи с этим в предлагаемой статье мы сконцентрируем внимание на связи модели «хищник-жертва» с такими математическими структурами, как логистическое уравнение, уравнение Я.Риккати, уравнение второй степени Я.Бернулли и дифференциально-разностное уравнение Полтеровича-Хенкина. Тем самым мы покажем внутренне единство разнообразных математических инструментов при моделировании разных аспектов динамики рынка труда. Во-вторых, имеющийся опыт позволяет лучше осознать закономерности функционирования экономических рынков. Особое значение здесь имеет понимание того, как характер конкурентных процессов определяет эволюцию рынка труда и секторальную структуру экономики.

2. Условие редукции модели «хищник-жертва» к логистическому уравнению

Для начала рассмотрим классический вид модели «хищник-жертва» для двух популяций⁸. При описании двухсекторного рынка труда в качестве популяций выступают контингенты занятых в государственном и частном секторах экономики:

Несложно видеть, что модель (1) имеет одну точку равновесия: X = -b* / c*; Y = -b / c. Чтобы определить характер данного равновесия, можно воспользоваться решением квадратного уравнения относительно характеристического значения k, которое получается в результате линеаризации нелинейной системы (1): k² - Dk + J = 0, где D и J – дивергенция и якобиан системы (1) соответственно. Решение данного уравнения позволяет получить довольно простую формулу для характеристического числа: .

Опираясь на классификацию точек покоя⁹, легко определить, что при bb* > 0 равновесие в модели (1) является седловой точкой и принципиально неустойчиво. Если же bb* < 0, то равновесие является центром и оно устойчиво. Содержательно это означает следующее: для устойчивого функционирования системы темпы автономного «размножения» двух популяций должны быть разного знака. Например, государственный сектор без взаимодействия с частным сектором тяготеет к самораспаду, тогда как частный сектор без взаимодействия с государственным сектором тяготеет к неограниченному расширению. Именно такие воспроизводственные параметры и характерны для классической модели «хищник-жертва», применяемой в математической экологии¹⁰. В соответствии с ними две популяции должны находиться в довольно специфическом взаимодействии. Если рассмотреть биологическую систему «хищник-жертва», состоящую из волков (хищников) и зайцев (жертв), то для нее характерен следующий воспроизводственный режим: в отсутствии волков зайцы неограниченно размножаются (b > 0); в отсутствии зайцев волки полностью вымирают (b < 0). И только взаимодействие волков и зайцев позволяет стабилизировать систему в рамках некоего равновесия.

Уже в этом пункте мы сталкиваемся с ограниченностью модели «хищник-жертва», т.к. две популяции отнюдь не всегда находятся в столь специфическом антагонизме. Например, при рассмотрении контингентов занятых в государственном и частном секторах экономики такой режим характерен только для таких стран с классической моделью капитализма, как Великобритания и Швеция; для Канады и России данное условие уже не выполняется¹¹. Подтверждается данный режим и для секторальной структуры российских работников, занятых в сфере исследований и разработок¹², однако переносить его на другие отрасли нельзя. Между тем для двух секторов экономики действует простое ограничение, состоящее в том, что общая численность рабочей силы определена экзогенно и просто перераспределяется между двумя секторами. Тогда при моделировании рынка труда следует учитывать простое балансовое равенство: X + Y = L.

Если имеет место указанное балансовое условие, то модель «хищник-жертва» нуждается в модификации. Так, второе уравнение системы (1) становится избыточным и ненужным, заменяясь на балансовое уравнение. Одновременно с этим численность популяции Y легко сводится к численности популяции X по формуле Y = L - X. Подставляя данное выражение в первое уравнение системы (1), получим следующую динамическую систему:

Если предположить, что моделируемый рынок труда стабилен во времени, не расширяется и не сжимается (L=const), то система (2) автоматически сводится к одному логистическому уравнению¹³

При начальном условии X(0) = X₀ уравнение (3) имеет в качестве своего решения хорошо известную логистическую кривую:

Функция (4) описывает процесс, когда первоначальный бурный рост переходит в стадию насыщения. Этой закономерности подчиняется и распространение информации (рекламы), и жизнь популяции фруктовых вредителей¹⁴, и динамика всех инновационных рынков. Именно этим фактом и предопределяется огромное значение логистического уравнения для экономики.

Особенность функции (4) состоит в наличии у нее асимптоты α / c = b / c + L, к которой стремится численность популяции X. При этом возможны два режима: рост X, если α / c > X₀; убывание X в противном случае. Однако в любом случае имеет место асимптота, которая обеспечивает не только наличие равновесия в системе, но и его устойчивость. Логистическая функция (4) имеет место, когда α > 0 и c > 0. В этом случае второй режим можно игнорировать как нереалистичный (α / c < X₀).

3. Гомогенные и гетерогенные популяции (рынки)

Проведенный выше анализ высвечивает нескольких важных моментов. Рассмотрим их более подробно.

Во-первых, логистическое уравнение является, как это ни странно, всего лишь частным случаем модели «хищник-жертва». Причем условие, которое обеспечивает сводимость более общей модели к частной является вполне естественным и предполагает «абсолютную» конкуренцию между популяциями за единый экономический рынок¹⁵. Иными словами, рост одной популяции осуществляется за счет соответствующего сокращения другой. В каком-то смысле обе популяции в этом случае выступают одновременно в роли хищника и жертвы. В зависимости от того, кто начинает доминировать на рынке, зависит и то, кто выступает в качестве хищника, а кто – в качестве жертвы. Иными словами, в какой-то период времени государственный сектор, усиливающий свои позиции в экономике, выступает в роли хищника, а частный сектор – в роли жертвы; в другой период времени, когда доля госсектора уменьшается, ситуация меняется с точностью до наоборот.

Во-вторых, модель «хищник-жертва» по своим свойствам является намного богаче, чем логистическое уравнение. Так, в первой равновесие может быть как устойчивым, так и неустойчивым, тогда как во второй – оно всегда устойчиво. Кроме того, модель «хищник-жертва» может генерировать волнообразные траектории, в то время как логистическое уравнение дает усеченный вариант таковых: оно продуцирует волну в форме логисты, но эта волна не предполагает повторений. Можно сказать, что пакет волн модели «хищник-жертва» сжимается в одну волну логистического уравнения. Учитывая, что приватизационный цикл предполагает возвратные тенденции в формировании секторальной динамики (например, от точки минимума через максимум до следующей точки минимума), можно утверждать, что он находит свое адекватное описание только в рамках модели «хищник-жертва»; логистическое уравнение задает только одну ветвь приватизационного цикла – нисходящую или восходящую.

В-третьих, модель «хищник-жертва» может использоваться при описании процессов формирования инновационных рынков, что имеет самостоятельное значение для экономических приложений. В данном случае речь идет о том, что логистическая кривая описывает развитие процесса на стационарном рынке, в то время как модель «хищник-жертва» воспроизводит движение контингентов на нестационарном рынке труда. В этой связи можно указать, что для России была характерна именно нестационарная ситуация, когда общая численность занятых в экономике уменьшалась при общей динамике госсектора по логистической кривой в сторону устойчивого равновесия¹⁶.

Главный же вывод состоит в понимании содержательного условия трансформации модели «хищник-жертва» в логистическое уравнение. Для его более четкой формулировки целесообразно ввести понятие гомогенных и гетерогенных популяций (рынков). Под гомогенными понимаются качественно однородные популяции (контингенты), а под гетерогенными – качественно неоднородные. Соответственно гомогенными экономическими рынками являются рынки, состоящие из однородных контингентов, а гетерогенными рынками – рынки, состоящие из разнородных контингентов.

Для случая экологической системы «волки-зайцы» имеют место две разнородные популяции, которые, строго говоря, складывать между собой нельзя. Для случая системы взаимодействия частного и государственного секторов, представленных соответствующими контингентами работников, мы имеем дело с абсолютно однородными популяциями, сложение которых не связано с нарушением логики их функционирования. Соответственно в системе с гетерогенными популяциями хищники и жертвы функционально разделены, тогда как в системе с гомогенными популяциями такой дихотомии не наблюдается, а конкуренция между ними ведется за какой-то другой ресурс. При моделировании секторальных взаимодействий под общим ресурсом понимается товарный рынок с присущим ему потребителем и характерным для него денежным бюджетом. Соответственно межсекторная конкуренция представляет собой борьбу за потребителя и финансовые доходы. Заметим попутно, что в качестве потребителя могут выступать и само государство, и субъекты федерации с их федеральным и региональными бюджетами.

Таким образом, переход модели «хищник-жертва» в логистическое уравнение происходит при ликвидации гетерогенности популяций. Как только качественные различия между популяциями (классами, секторами) «схлопываются», свойство изучаемого рынка изменяется в направлении повышения его устойчивости. Именно гомогенность рынка выступает в качестве условия начала взаимной диффузии кадровых контингентов, которая заканчивается установлением равновесия.

Сделанный вывод вполне сообразуется с термодинамическими свойствами физических систем: рост энтропии ведет систему к глобальному равновесию в виде «тепловой смерти» и выравниванию ее свойств по всему объему. С экономической точки зрения устойчивость системы также выглядит вполне естественно, а именно: развитие стабилизируется при возникновении полноценной конкуренции, когда две популяции на равных борются за рынок. Если же какая-то популяция начинает доминировать, то рынок становится гетерогенным и это соответствует возникновению монополиста, который систематически подавляет своего более слабого конкурента. Следовательно, гомогенные популяции соответствуют конкурентным рынкам, в то время как гетерогенные популяции могут отождествляться с монопольными рынками. В этом смысле плодотворной может считаться следующая простая интерпретация: популяция, выступающая в экономической системе в качестве «хищника», может трактоваться как монополист. Согласно такому подходу государственный сектор в Великобритании и Швеции является естественным монополистом, тогда как в России и Польше в качестве монополиста выступает частный сектор¹⁷.

Заметим по ходу дела, что конкурентным рынкам, на которых действуют гомогенные контингенты, внутренне присуще свойство устойчивого равновесия. Между тем монопольные рынки с гетерогенными секторами более склонны к неустойчивости, но и они тоже могут иметь устойчивое равновесие. Таким образом, речь идет о том, что для монопольных рынков свойство устойчивости всегда под вопросом и требует проверки, тогда как для конкурентных рынков оно выполняется почти автоматически.

Еще один содержательный аспект, который вытекает из редукции модели «хищник-жертва» в логистическое уравнение, связан с ролью обратных связей в рыночных системах. В модели «хищник-жертва» в явном виде фигурируют прямая и обратная связи между популяциями, причем эти связи в общем случае несимметричны. Именно асимметричность и несогласованность действия прямой и обратной связей служат источниками неустойчивости и колебаний в системе. В логистическом уравнении обратная связь симметрична прямой связи благодаря балансовому тождеству между популяциями. Указанная симметричность позволяет «избавиться» от второго уравнения в модели «хищник-жертва» и перейти к одному уравнению, в котором заложен автоматизм настройки популяций друг на друга. Тем самым механизм автоматической самонастройки одной популяции на динамику другой, эквивалентный принципу сообщающихся сосудов, и обеспечивает повышенную устойчивость таких рыночных систем по сравнению с биоценозами. Переходя к ранее введенным терминам, можно утверждать, что гетерогенные рынки обладают свойством своеобразной автоматической конкуренции по сравнению с гомогенными рынками, где асимметричные реакции популяций (контингентов) друг на друга приводят к сильному усложнению конкурентного взаимодействия.

Можно пойти еще дальше в наших обобщениях и сказать, что в модели «хищник-жертва» отображаются вертикальные (иерархические) связи, в которых изначально заложено доминирование одной популяции над другой (хищника над жертвой), в то время как логистическое уравнение описывает горизонтальные (сетевые) связи, предполагающие равенство всех субъектов в борьбе за место на рынке. Данный факт дает нам еще одну интерпретацию процесса, помогающую понять природу более высокой устойчивости решений логистического уравнения по сравнению с моделью «хищник-жертва».

4. Обобщенная модель «хищник-жертва» и обобщенное логистическое уравнение, их свойства

Выше нами были рассмотрены классические формы двух динамических моделей. Однако обе они предполагают незначительные обобщения путем введения в их правые части свободного параметра. В этом случае модель «хищник-жертва» приобретает следующий вид:

Тогда логистическое уравнение при выполнении балансового условия обобщается следующим образом:

В отличие от системы (1) для системы (5) существуют две точки равновесия:

В общем случае определить характер равновесий довольно трудно, т.к. окончательные формулы оказываются слишком громоздкими и многопараметрическими. Однако опыт моделирования секторальной структуры занятости для российской экономики показывает, что одна из точек равновесия, как правило, является устойчивой, а одна – неустойчивой¹⁸.

Не вдаваясь в формальные преобразования, отметим, что в отличие от уравнения (4) логистическое уравнение (6) имеет два принципиально разных решения¹⁹:

Несложно видеть, что решение (8) соответствует неустойчивому равновесному режиму, тогда как решение (9) задает устойчивое равновесие. Причем функция (8), будучи периодической, совершает не только циклические колебания, но она еще имеет разрывы, которые свидетельствуют о некоторой катастрофичности в протекании моделируемого процесса. Более того, тангенциальная зависимость в начале и конце цикла уходит в бесконечность, а это означает своего рода эволюционный взрыв рынка на завершающей стадии. Функция (9), наоборот, является своего рода обобщением логистической зависимости и имеет асимптоту

Как и для уравнения (4), наличие асимптоты и устойчивости решения обобщенного логистического уравнения (6) полностью обеспечивается условиями: α > 0 и c > 0. Однако вхождение системы в устойчивый режим требует, чтобы D < 0, а это гарантированно достигается только при m > 0. В противном случае система рискует перейти в неустойчивый режим.

Резюмируя наш анализ, можно сделать следующие выводы.

Во-первых, обобщение модели «хищник-жертва» посредством введения дополнительного параметра m приводит к «расщеплению» единственного равновесия в модели (1) на два равновесных состояния. Причем если в случае (1) равновесие может быть устойчивым и неустойчивым, то в модели (5) одно равновесие, как правило, устойчиво, а другое – нет. В общем же случае в модели (5) могут быть два устойчивых или два неустойчивых равновесия. Аналогичный, но более рафинированный эффект возникает при введении параметра m в логистическое уравнение: единственное решение «расщепляется» на два решения, одно из которых принципиально неустойчиво, а другое – устойчиво. Те самым при обобщении модели «хищник-жертва» и логистического уравнения по-прежнему хорошо просматривается существующее между ними методологическое единство.

Во-вторых, обобщенный логистический процесс в качестве решения дает либо обобщенную логисту, напоминающую гиперболический тангенс, либо периодическую тангенциальную функцию. Первый режим описывает уже не столько простой диффузионный процесс, сколько некое квазитурбулентное движение. Причем сильно отрицательный свободный параметр m способен «сдвинуть» систему из устойчивого режима в режим сильных колебаний. В данном случае хорошо просматривается механизм перерождения «гладкого» логистического процесса в «рваный» динамический режим.

Теперь кратко остановимся на совмещении формальных и содержательных аспектов моделируемого процесса. Дело в том, что сейчас уже установлена структурная неустойчивость модели «хищник-жертва» (1). Это означает, что малые возмущения могут вызвать блуждание решения модели между траекториями системы до тех пор, пока оно, в конце концов, не наткнется либо на ось X=0, либо на ось Y=0²⁰. Содержательно это означает гибель одной из популяций в экологической системе и разрушение одного из секторов в экономике. Обобщение моделей (1) и (3) путем перехода к моделям (5) и (6) посредством введения дополнительного параметра с последующим исследованием их свойств подтвердило факт неустойчивости исходных конструкций. Следовательно, в обобщенной модели «хищник-жертва» и обобщенном логистическом уравнении содержится потенциальная возможность полного подавления одного из секторов экономики – частного или государственного. Таким образом, в реальности всегда имеется опасность краха экономики по причине несостоятельности одного из секторов. Именно этот процесс, по нашему мнению, и лежал в основе крушения всех великих цивилизаций прошлого²¹. Выполненный нами формальный анализ хорошо подтверждает и объясняет установленный эмпирический факт, а также полностью соответствует интуитивным представлениям о характере межсекторальных взаимодействий.

Конкретизировать сказанное можно на примере параметра m в уравнении (6), который, став сильно отрицательной величиной (при c > 0), способен привести к формированию нежелательного режима функционирования системы (8). Сам параметр m фиксирует некое экзогенное постоянное воздействие на изучаемый сектор экономики. Это могут быть либо налоги, либо дотации – в зависимости от интерпретации. Соответственно слишком большие налоги и дотации способны нарушить секторальное равновесие и спровоцировать крайне неустойчивое развитие экономики. В этой связи стабилизирующая роль факта гомогенности кадровых контингентов (секторов) становится еще более выпуклой, а мощные дотации и высокое налоговое бремя выступают в качестве инструмента нарушения гомогенности и искусственного создания сектора-монополиста.

5. Трансформация модели «хищник-жертва» и логистического уравнения к уравнениям Я.Бернулли и Я.Риккати

До этого мы рассматривали ограничение, когда общая численность двух популяций была стабильна во времени. Однако такая гипотеза на практике выполняется не так часто. В связи с этим снимем данное ограничение и предположим, что численность двух популяций экзогенно изменяется во времени. Например, при моделировании взаимодействия численности работников государственного и частного секторов их сумма определяется демографической ситуацией и общей экономической конъюнктурой.

На практике для описания экзогенного роста численности двух популяций (секторов) достаточно рассматривать либо линейный, либо экспоненциальный рост. В последнем случае имеем нестационарное балансовое тождество X 0 Y = L₀e^λt, где λ – темп прироста численности занятых (популяций) в экономике; L₀ – численность занятых в экономике в начальный момент времени.

Тогда уравнение (3) примет вид:

Несложно видеть, что в такой форме уравнение (12) представляет собой частный случай уравнения Я.Бернулли, а именно уравнение Бернулли 2-ой степени²². Здесь коэффициент при X становится зависимым от времени и задача интегрирования усложняется.

Если же нестационарное балансовое условие подставить в обобщенную модель «хищник-жертва» и в обобщенное логистическое уравнение (6), то получим следующую формальную конструкцию

Если предположить, что в исходной модели (5) фигурирует некий тренд в формировании численности популяций, задаваемый линейной компонентой νt

Разумеется, экзогенные правила роста двух популяций могут быть сколь угодно разнообразными и задаваться разными временными зависимостями, что и предполагает довольно широкий класс уравнений Бернулли и Риккати в экономических приложениях. Аналогичное утверждение справедливо и для трендовых зависимостей²⁴.

Тем самым мы показали органическую связь между моделью «хищник-жертва» и такими мощными математическими структурами, как уравнение Бернулли 2-ой степени и уравнение Риккати. Следовательно, уравнениями Бернулли и Риккати может успешно описываться широкий класс процессов функционирования экономических рынков.

Сегодня существуют и более сложные математические конструкции, которые также связаны с логистическим уравнением. Среди них можно назвать дифференциально-разностную модель Полтеровича-Хенкина²⁵. Указанная эволюционная модель описывает взаимодействие процессов создания и заимствования технологий, что позволяет увязать логистический характер диффузионных «временных» кривых распространения технологий и устойчивую форму «пространственных» кривых распределения производственных мощностей по уровням эффективности. Такой способ моделирования объединяет инновационную и имитационную составляющие единого механизма формирования «динамического равновесия». Как оказалось, решением дифференциально-разностного уравнения Полтеровича-Хенкина является волновая функция, очень похожая на логистическую кривую, хотя в нее и «примешивается» фактор технологических различий. Более тщательный формальный анализ семейства волновых функций позволил установить факт экспоненциальной сходимости распределения предприятий по уровню эффективности к логистической зависимости²⁶. Иными словами, в результате взаимодействия инновационного и имитационного процессов с течением времени форма кривой распределения технологий по эффективности стабилизируется; ни форма, ни скорость в асимптотике не зависят от начальных условий и, следовательно, от отраслевой специфики инновации и фазы ее жизненного цикла. Следовательно, свойство устойчивости решения здесь становится более сложным и интересным, но само это свойство сохраняется.

Не вдаваясь в детали, укажем лишь, что дифференциально-разностное уравнение Полтеровича-Хенкина в простейшем случае двух технологий может быть сведено к системе двух логистических уравнений. Таким образом, и здесь мы сталкиваемся с феноменом трансформации сложной модели, описывающей рыночные процессы, в более простое логистическое уравнение. Это лишний раз подтверждает универсальность и широкую применимость логистического закона эволюции рынка. Переходя на экономический язык, можно утверждать, что даже весьма сложные диффузионные процессы, происходящие в экономической системе, в своем пределе сходятся к элементарной конкуренции с установлением равновесия.

6. Теоретические и прикладные аспекты процесса модельной редукции

Выше нами был установлен факт органической и генетической связи между моделью «хищник-жертва» с логистическим уравнением, уравнением Бернулли 2-ой степени и уравнением Риккати, а отчасти и с уравнением Полтеровича-Хенкина. Под органической связью мы понимаем структурное единство рассматриваемых моделей, когда их строение в определенных частных случаях совпадает. Под генетической связью мы понимаем эволюционное единство описываемых данными моделями процессов, т.е. во всех случаях мы имеем дело с эволюцией рынка. Наличие подобных связей между разными классами моделей будем называть модельной редукцией, которая имеет большое теоретическое и прикладное значение. Остановимся на них более подробно.

С теоретической точки зрения модельная редукция позволяет глубже понять законы, лежащие в основе функционирования экономических рынков, и механизм секторальной конкуренции. Особое значение здесь имеет понимание роли отдельных условий, факторов и параметров для формирования устойчивых режимов функционирования экономических систем. Наиболее интересным и перспективным направлением здесь представляется изучение влияния разных параметров и гипотез на «размножение» решений модели и равновесных состояний рынков. Возможность перехода от сложных моделей к более простым позволяет «пощупать» некоторые бифуркации с помощью явных аналитических выражений.

С прикладной точки зрения модельная редукция имеет три аспекта, на которых следует остановиться более подробно.

Во-первых, возникает возможность экономии ресурсов. Дело в том, что в прикладных исследованиях все параметры моделей должны быть оцифрованы в результате построения соответствующих эконометрических зависимостей. Однако редукция двух уравнений модели «хищник-жертва» к одному уравнению позволяет сэкономить время и силы на построении одной эконометрической зависимости, что иногда бывает весьма существенно²⁷. Все последующие прогнозные и аналитические эксперименты с моделью в этом случае также оказываются проще и легче, что дает дополнительную экономию ресурсов исследователя.

Во-вторых, переход к одному хорошо известному уравнению позволяет расширить область аналитических исследований. В этом случае получение общего решения для конкретного уравнения автоматически дает полезные, а порой и исчерпывающие, сведения о роли каждого параметра зависимости. В этом случае можно подробно выяснить влияние того или иного параметра на устойчивость решения, на длительность и амплитуду формирующейся волны и т.п. Иными словами, это дает возможность предсказывать влияние изменения параметров модели на поведение системы с помощью простых аналитических методов.

В-третьих, возникают дополнительные возможности для имитации поведения системы. Отсутствие перекрестных связей между популяциями (контингентами) позволяет напрямую работать с разнообразными гипотезами и получать временную разверстку искомой переменной.

Отдельного обсуждения заслуживает вопрос о правомерности перехода от модели «хищник-жертва» к логистическому уравнению и алгоритме работы с последним. Дело в том, что на практике гипотеза о неизменности общей численности двух моделируемых популяций не выполняется. Однако, зная темпы или закон роста совокупной численности изучаемого контингента, можно оценить границы величины L за некоторый период времени. Тем самым мы переходим к «размазанному» параметру L, который в свою очередь задает один из ключевых параметров логисты: α = b + cL. Тогда мы можем оценить и границы точки равновесия, определяемой асимптотой α / c = b / c + L. Благодаря такому подходу у нас появляется возможность перехода к интервальной оценке равновесной структуры экономики в условиях нестабильных сдвигов в величине рынка труда.

Такой подход представляет собой ни что иное, как двухшаговый алгоритм учета эволюции рынка труда. На первом шаге мы просто игнорируем факт расширения, сжатия или пульсации рынка труда, что позволяет получить простые и хорошо анализируемые математические соотношения. На втором шаге мы возвращаемся к учету динамики рынка посредством задания его нижней и верхней границы, что позволяет автоматически оценить границы равновесной секторальной структуры рынка труда национальной экономики. Тем самым идея предлагаемого алгоритма состоит в том, чтобы четко ограничить рамки неопределенности в динамике рынка труда. Манипулируя разными сценариями в отношении будущей емкости рынка труда, мы, в конечном счете, получаем оценку диапазона его равновесной секторальной структуры.

Данными обстоятельствами и предопределяется значимость проблемы взаимосвязи разных математических моделей.

В заключение хотелось бы отдельно коснуться вопроса относительно расширения содержательного наполнения рассмотренных в статье моделей. Дело в том, что на протяжении всей статьи мы рассматривали проблему взаимодействия популяций сквозь призму кадровых контингентов, задействованных в государственном и частном секторах экономики. Однако такое деление рынка труда является традиционным и хорошо подкрепленным эмпирической базой.

Вместе с тем модель «хищник-жертва» и логистическое уравнение предполагают и более интересные, совершенно новые интерпретации. Например, в рамках этих моделей можно рассмотреть взаимодействие семьи и государства, которое было подробно изучено Ф.Фукуямой²⁸. В этом случае первый контингент будет представлен приверженцами семейных ценностей, а второй – сторонниками более масштабных, государственных интересов. Оба контингента являются абсолютно конкурентными, т.к. каждый из них пополняет свои ряды за счет «переманивания» людей из другого контингента. Подобные столкновения между «коллективистами» и «индивидуалистами» имели место в моменты прихода к власти коммунистов и формирования ими новой архитектуры экономики. Причем, как оказалось, указанные взаимодействия отнюдь не являются простыми и иногда могут порождать своеобразные циклы, а иногда – полное разрушение одного из мировоззрений. Например, в России коммунистическая идеология смогла практически полностью подавить патриархальные семейные традиции, в то время как в Китае победа коммунистов имела локальный характер с последующим восстановлением позиций семейных ценностей в качестве доминирующей модели социализации людей. Таким образом, рассмотренные нами динамические модели могут использоваться при исследовании различных срезов рынка труда и общества.

Автор выражает благодарность профессору В.В.Лебедеву за высказанные им полезные замечания.